MOMENTUM SUDUT DAN ROTASI BENDA TEGAR

Katrol yang berputar karena bergesekan dengan tali memiliki momentum sudut yaitu hasil kali momen inersia katrol dengan jari-jari katrol. Katrol termasuk silinder.  Silinder selain dapat berputar dengan sumbu putar menembus penampang, dapat juga berputar dengan sumbu putar sejajar permukaan penampang. Sedangkan pada bola dapat berputar dengan sumbu putar dari berbagai arah..

A. Momen Gaya

Momen gaya merupakan salah satu bentuk usaha dengan salah satu titik sebagai titik acuan. Misalnya anak yang bermain jungkat-jungkit, dengan titik acuan adalah poros jungkat-jungkit. Pada katrol yang berputar karena bergesekan dengan tali yang ditarik dan dihubungkan dengan beban.              

Momen gaya adalah hasil kali gaya dan jarak terpendek arah garis kerja terhadap titik tumpu. Momen gaya sering disebut dengan momen putar atau torsi, diberi lambang t (baca: tau).

                                    t = F . d

Satuan dari momen gaya atau torsi ini adalah N.m yang setara dengan joule.

Momen gaya yang menyebabkan putaran benda searah putaran jarum jam disebut momen gaya positif. Sedangkan yang menyebabkan putaran benda berlawanan arah putaran jarum jam disebut momen gaya negatif.

			Gambar: Skema permainan jungkat jungkit

 

Titik 0 sebagai titik poros atau titik acuan.

Momen gaya oleh F1 adalah t1 = + F1 . d1

Momen gaya oleh F2 adalah t2 = - F2 . d2

Pada sistem keseimbangan resultan momen gaya selalu bernilai nol, sehingga dirumuskan:

 ∑ t = 0

Pada permainan jungkat-jungkit dapat diterapkan resultan momen gaya = nol.

      ∑ t             = 0

- F2 . d2  + F1 . d1      = 0

                 F1 . d1        = F2 . d2

Pada mekanika dinamika untuk translasi dan rotasi banyak kesamaan-kesamaan besaran yang dapat dibandingkan simbol besarannya.

Perbandingan dinamika translasi dan rotasi

Translasi		Rotasi
Momentum linier	p = mv	Momentum sudut*	L = Iw
Gaya	F = dp/dt	Torsi	t = dL/dt
Benda massa Konstan	F = m(dv/dt)	Benda momen inersia konstan*	t = I (dw/dt)
Gaya tegak lurus terhadap momentum	F = w x p	Torsi tegak lurus momentum sudut	t = W ´ L
Energi kinetik	Ek = ½ mv2	Energi kinetik	Ek = ½ Iw2
Daya	P = F . v	Daya	P = t . w

Analogi antara besaran translasi dan besaran rotasi

Konsep	Translasi	Rotasi	Catatan
Perubahan sudut	s	q	s = r.q
Kecepatan	v = ds/dt	w = dq/dt	v = r.w
Percepatan	a = dv/dt	a = dw/dt	a = r.a
Gaya resultan, momen	F	t	t = F.r
Keseimbangan	F = 0	t = 0
Percepatan konstan	v = v0 + at	w = w0 + at
	s = v0t = ½ at2	q = w0t + ½at2
	v2 = + 2as	w2 = + 2aq
Massa, momen kelembaman	m	I	I = åmiri2
Hukum kedua Newton	F = ma	t = Ia
Usaha	W = ò F ds	W = ò t dq
Daya	P = F.v	P = I w
Energi potensial	Ep = mgy
Energi kinetik	Ek = ½ mv2	Ek = ½ Iw2
Impuls	ò F dt	ò t dt
Momentum	P = mv	L = Iw

B. Momen Inersia Rotasi Benda Tegar

Benda tegar adalah benda padat yang tidak berubah bentuk apabila dikenai gaya luar. Dalam dinamika, bila suatu benda tegar berotasi, maka semua partikel di dalam benda tegar tersebut memiliki percepatan sudut a yang sama. Momen gaya atau gaya resultan gerak rotasi t didefinisikan sebagai berikut.

”Apabila sebuah benda tegar diputar terhadap suatu sumbu tetap, maka resultan gaya putar (torque, baca torsi) luar terhadap sumbu itu sama dengan hasil kali momen inersia benda itu terhadap sumbu dengan percepatan sudut”.

Dirumuskan sebagai berikut.

t = S F_i R_i Sin q_i         atau     t = ( S m_i R² _i ) ^. a

Sm_i R_i² disebut momen inersia atau momen kelembaman benda terhadap sumbu putar, yaitu penjumlahan hasil kali massa tiap partikel dalam suatu benda tegar dengan kuadrat jaraknya dari sumbu.

Dirumuskan:

I = S  m_i . R_i²

Definisi lain dari momen inersia adalah perbandingan gaya resultan (momen) terhadap percepatan sudut.

Dirumuskan:

I           =         

maka    t          =          I . a

t          =          I

Karena             t          =          SF . R              dan      t = I . a

maka                                        S F . R = I . a

Percepatan tangensial adalah juga percepatan linier a, yaitu percepatan singgung tepi roda.

            a          =          a . R

            a          =         

persamaan menjadi :

                        S F . R = I .

Momen inersia harus dinyatakan sebagai hasil kali satuan massa dan kuadrat satuan jarak. Untuk menghitungnya harus diperhatikan bentuk geometri dari benda tegar homogen.

C. Persamaan Lain Gerak Rotasi Benda Tegar

Dalam dinamika, bila suatu benda berotasi terhadap sumbu inersia utamanya, maka momentum sudut total L sejajar dengan kecepatan sudut w, yang selalu searah sumbu rotasi. Momentum sudut (L) adalah hasil kali momen kelembaman I dan kecepatan sudut w.

Sehingga dapat dirumuskan :

L   =   I . w

Bagaimana persamaan tersebut diperoleh? Perhatikan gambar berikut. Momentum sudut terhadap titik 0 dari sebuah partikel dengan massa m yang bergerak dengan kecepatan V (memiliki momentum P = mv) didefinisikan dengan perkalian vektor,

L  =  R  ´ P

atau           L  =  R  ´ mV

L  =  mR  ´ V

 

Jadi momentum sudut adalah suatu vektor yang tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh R dan v.

Dalam kejadian gerak melingkar dengan 0 sebagai pusat lingkaran, maka vektor R dan v saling tegak lurus.

V   =  w   R

Sehingga                                 L    =  m   R   v

                                          L    =  m   R   wR        

                                          L    =  m   R²   w          

Arah L dam w adalah sama, maka:

                                          L    =  m   R²  w                                  

atau     L    =  I    w

karena                                      w =

maka :  L    =  m R²

            L    =  I  

Momentum sudut sebuah partikel, relatif terhadap titik tertentu adalah besaran vektor, dan secara vektor ditulis:

L    =  R  ´  P  =  m  (R ´ v)

Bila diturunkan, menjadi:

                                         

                                         

                                         

                                         

karena t = F ´ R

maka t =

            Apabila suatu sistem mula-mula mempunyai memontum sudut total SL, dan sistem mempunyai momentum sudut total akhir SL’, setelah beberapa waktu, maka berlaku hukum kekekalan momentum sudut. Perhatikan seorang penari balet yang menari sambil berputar dalam dua keadaan yang berbeda. Pada keadaan pertama, penari merentangkan tangan mengalami putaran yang lambat, sedangkan pada keadaan kedua, penari bersedekap tangan roknya berkibar-kibar dengan putaran yang cepat.

                       

momentum sudut total awal   =    momentul sudut total akhir

                                          SL                   =    SL’

                                          L₁ + L₂                =    L₁’ + L₂’

Hukum Kekekalan momentum rotasi sebagai berikut.

                                          I₁ w₁ + I₂ w₂      =    I₁’ w₁’  + I₂’ w₂’

D. Energi Kinetik Rotasi

Misalkan sebuah sistem terdiri atas dua partikel yang massanya m₁ dan m₂ dan rotasi bergerak dengan kecepatan linier v₁ dan v₂, maka energi kinetik partikel ke 1 adalah ½ m₁v₁². Oleh karena itu, energi kinetik sistem dua partikel itu adalah (energi kinetik partikel  ke 2  adalah ½ m₂v₂² ) :

E_K  =    ½ m₁ v₁² + ½ m₂v₂²

Dalam sistem benda tegar energi kinetiknya:

E_K  =    S ½ m_i v_i²

Benda tegar yang berotasi terhadap suatu sumbu dengan kecepatan sudut w, kecepatan tiap partikel adalah v_i = w . R_i , di mana R_i adalah jarak partikel ke sumbu rotasi.

jadi            E_K =     S ½ m_iv_i²

                        =    S  ½ m_i R_i² w²

                        =    ½ (S m_i R_i²) w²

                  E_K  =    ½ I . w²

karena        L    =    I . w

maka          E_K  =    ½ L . w

atau           E_K  =    ½   

Masalah umum di mana benda tegar berotasi terhadap sebuah sumbu yang melalui pusat massanya dan pada saat yang sama bergerak translasi relatif terhadap seorang pengamat. Karena itu, energi kinetik total benda dapat dituliskan sebagai berikut.

E_K     =  ½  mv²  +  ½  I . w²

Dalam hal ini hukum kekekalan energi total atau energi mekanik adalah:

E      =  E_K  +  E_P                          =  konstan

½  mv²  +  ½  I w²  +  mgh    =  konstan

E.   Menghitung Momen Inersia/Kelembaman Benda-benda Homogen

1)      Batang homogen (panjang 1, massa m, penampang A)

a.       Momen kelembaman terhadap sumbu melalui ujung batang  (O) tegak  lurus penampang batang.

Massa jenis batang

Kita ambil bagian kecil dx yang jaraknya x dari ujung O massa bagian itu:

dm   =    r.dV

dm   =    r A  dx

dm   =   

dm   =   

momen inersia batang :

I   =   

I   =   

I   =   

I   =   

I   =   

I   =    1/3   ml²

b.      Momen kelembaman batang terhadap titik beratnya (z)

maka:     I   = 

              I   = 

              I   = 

              I   = 

              I   =  1/3

              I   =  1/3

              I   =  1/12   m  1²

2)      Batang tipis (tanpa tebal) bentuk lingkaran (massa m)

a.       Momen kelembamannya terhadap sumbu rotasi melalui pusat lingkaran tegak lurus bidang lingkaran.

b.      Momen kelembaman terhadap garis tengah sebagai sumbu rotasi

3.      Keping (plat) berbentuk lingkaran (massa m)

a.       Momen kelembaman terhadap sumbu rotasi melalui pusat lingkaran tegak lurus keping.

b.      Momen kelembaman terhadap garis tengah sebagai sumbu rotasi

4.      Keping berbentuk segi empat

Keping tipis dengan panjang a dan lebar b, massa m sumbu x sejajar a dan sumbu y sejajar b.

5.      Silinder pejal homogen

Momen kelembaman terhadap sumbu silinder sebagai sumbu rotasi:

I = ½  mR²

6.      Silinder berongga homogen

Momen kelembaman terhadap sumbu silinder sebagai sumbu rotasi:

I = ½  m  ( R₁² + R₂² )

7.      Bola pejal homogen

Momen kelembaman terhadap garis tengahnya sebagai sumbu rotasi:

R

I =  2/5  mR²

F.  Katrol Tetap

a.       Sumbu dianggap licin tanpa gesekan

Massa              = m

Jari-jari                        = R

Momen kelembaman   = I

Gerak translasi beban :

            F   =   m   .   a

+ T₁  –  m₁g  =  m₁a  ......................(i)

+ m₂g  –  T₂ =  m₂a  ......................(ii)

Gerak rotasi katrol :

            t  =  I  . a

(T₂ – T₁)  R  =   I   ...................(iii)

b.      Pada puncak bidang miring

Gerak translasi beban :

            F   =   m   .   a

+ T₁ – m₁g  sin q  –  f  =  m₁a  .......(i)

+ m₂g  –  T₂ =  m₂a  .......................(ii)

Gerak rotasi katrol :

            t  =  I  . a

(T₂ – T₁)  R  =   I   ........................(iii)

c.      

Satu ujung talinya terikat pada sumbu katrol                                                                                                                                                                        

Gerak translasi beban :

            F   =   m   .   a

mg  –  T =  m  .  a  .................(i)

Gerak rotasi katrol :

            t  =  I  . a

T  .  R  =   I  .    .................(ii)

G. Menggelinding

Menggelinding adalah gabungan dari gerak translasi (titik pusat massa) dan gerak rotasi (penampang bentuk lingkaran).

                                                                                                            F

                                         F

        f                                                                                               f

Penyelesaian kita tinjau dari masing-masing gerakan itu.

1.      Bila gaya F berada tepat di sumbu:

-     gerak translasi berlaku             :   F  –  f          =    m  .  a       

-     gerak rotasi berlaku                 :   f   .   R         =    I   .   a 

 di mana  (a = )

2.      Bila gaya F berada di titik singgung :

-     gerak translasi berlaku             :   F  +  f          =    m  .  a       

-     gerak rotasi berlaku                 :   (F – f) . R   =    I   .   a  (a = )

H. Kesetimbangan Benda Tegar

Kesetimbangan adalah suatu kondisi benda dengan resultan gaya dan resultan momen gaya  sama dengan nol.

Kesetimbangan biasa terjadi pada :

1.      Benda yang diam (statik), contoh : semua bangunan gedung, jembatan, pelabuhan, dan lain-lain.

2.      Benda yang bergerak lurus beraturan (dinamik), contoh : gerak meteor di ruang hampa, gerak kereta api di luar kota, elektron mengelilingi inti atom, dan lain-lain.

Benda tegar adalah benda yang tidak berubah bentuknya karena pengaruh gaya dari luar.

Kesetimbangan benda tegar dibedakan menjadi dua:

1. Kesetimbangan partikel
2. Kesetimbangan benda

1.      Kesetimbangan Partikel

Partikel adalah benda yang ukurannya dapat diabaikan dan hanya mengalami gerak translasi (tidak mengalami gerak rotasi).

Syarat kesetimbangan partikel SF = 0 à             SF_x = 0  (sumbu X)

                                                                  SF_y = 0  (sumbu Y)

2.      Kesetimbangan Benda

Syarat kesetimbangan benda:       SF_x = 0,  SF_y = 0,  St = 0 

Momen gaya merupakan besaran vektor yang nilainya sama dengan hasil kali antara gaya dengan jarak dari titik poros arah tegak lurus garis kerja gaya.

Dirumuskan:          t = F . d

Putaran momen gaya yang searah dengan putaran jarum jam disebut momen gaya positif, sedang  yang berlawanan putaran jarum jam disebut momen gaya negatif.

Momen kopel adalah momen gaya yang diakibatkan pasangan dua gaya yang sama besarnya dan arahnya berlawanan tetapi tidak segaris kerja.

Benda yang dikenai momen kopel akan bergerak rotasi terus menerus.

3.      Titik Berat

Titik berat adalah titik pusat atau titik tangkap gaya berat dari suatu benda atau sistem benda. Titik berat menurut bentuk benda dibedakan menjadi 3 antara lain:

a.       Benda berbentuk garis/kurva, contoh : kabel, lidi, benang, sedotan, dan lain-lain.

b.      Benda berbentuk bidang/luasan, contoh : kertas, karton, triplek, kaca, penggaris, dan lain-lain.

c.       Benda berbentuk bangunan/ruang, contoh : kubus, balok, bola, kerucut, tabung, dan lain-lain

a.      Benda berbentuk partikel massa

Apabila sistem benda terdiri dari beberapa benda partikel titik digabung menjadi satu, maka koordinat titik beratnya dirumuskan:

Xo =  =

                                                                                    Jadi zo (Xo,Yo)

Yo =  =

b.      Benda berbentuk garis/kurva

Daftar titik beberapa benda berbentuk garis dapat dilihat dalam lampiran. Apabila sistem benda terdiri dari beberapa benda garis digabung menjadi satu, maka koordinat titik beratnya dirumuskan:

Xo =  =

                                                                                    Jadi zo (Xo,Yo)

Yo =  =

c.       Benda berbentuk bidang/luasan

Daftar titik berat berbagai macam bidang beraturan dan bidang selimut benda dapat dilihat dalam lampiran. Apabila sistem benda terdiri dari bidang gabungan, maka koordinat titik beratnya dirumuskan:

Xo =  =

                                                                                    Jadi zo (Xo,Yo)

Yo =  =

d.      Benda berbentuk volume/ruang (homogen)

Daftar titik berat berbagai macam benda ruang beraturan dapat dilihat dalam lampiran. Apabila sistem benda terdiri dari bidang gabungan benda, maka koordinat titik beratnya dirumuskan:

Bila terbuat dari bahan-bahan yang sama (homogen)

Xo =  =

                                                                                                Jadi zo (Xo,Yo)

Yo =  =

e.       Bila terbuat dari bahan-bahan yang berbeda (heterogen)

Xo =  =

                                                                                                Jadi zo (Xo,Yo)

Yo =  = ]

keterangan : W = mg = r . V . g

karena S = r . g  à  W = S . V

r        =  massa jenis (kg/m³)

S    =  berat jenis (N/m³)

Tabel titik berat bentuk teratur linier

Nama benda	Gambar benda	letak titik berat	keterangan
1. Garis lurus		x0 = l	z = titik tengah garis
2. Busur lingkaran		R = jari-jari lingkaran
3. Busur setengah     lingkaran

Tabel titik berat benda teratur berbentuk luas bidang homogen

Nama benda	Gambar benda	Letak titik berat	Keterangan
1. Bidang segitiga		y0 = t	t = tinggi z = perpotongan garis-garis berat AD & CF
2.Jajaran genjang, Belah ketupat, Bujur sangkar Persegi panjang		y0 = t	t = tinggi z = perpotongan diagonal AC dan BD
3. Bidang juring     lingkaran		R = jari-jari lingkaran
4.Bidang setengah     lingkaran		R = jari-jari lingkaran

Tabel titik berat benda teratur berbentuk bidang ruang homogen

Nama benda	Gambar benda	Letak titik berat	Keterangan
1. Bidang kulit     prisma		z pada titik tengah garis z1z2 y0 = l	z1 = titik berat        bidang alas z2 = titik berat        bidang atas l = panjang sisi      tegak.
2. Bidang kulit     silinder.    ( tanpa tutup )		y0 = t A = 2 p R.t	t = tinggi      silinder R = jari-jari    lingkaran alas A = luas kulit        silinder
3. Bidang Kulit     limas		T’z = T’ T	T’T = garis  tinggi ruang
4. Bidang kulit     kerucut		zT’ =  T T’	T T’ = tinggi         kerucut T’ = pusat     lingkaran alas
5. Bidang kulit     setengah bola.		y0 = R	R = jari-jari

Tabel titik berat benda teratur berbentuk ruang, pejal homogen

Nama benda	Gambar benda	Letak titik berat	Keterangan
1. Prisma     beraturan.		z pada titik tengah garis z1z2 y0 =  l V = luas alas kali tinggi	z1 = titik berat        bidang alas z2 = titik berat        bidang atas l = panjang sisi       tegak V = volume        prisma
2. Silinder Pejal		y0 = t V = p R2 t	t = tinggi silinder R = jari-jari       lingkaran alas
3. Limas pejal     beraturan		y0 = T T’     = t V = luas alas x tinggi 3	T T’ = t = tinggi limas beraturan
4. Kerucut pejal		y0 =  t V =  p R2 t	t = tinggi kerucut R = jari-jari lingkaran alas
5. Setengah bola     pejal		y0 = R	R = jari-jari bola.

4.      Macam-macam Keseimbangan

Dibedakan menjadi 3:

a.      Keseimbangan stabil/mantap

Adalah keseimbangan suatu benda di mana setelah gangguan yang diberikan pada benda dihentikan, benda akan kembali ke posisi keseimbangan semula.

Contoh: Keseimbangan stabil dapat dipandang sebagai keseimbangan yang dimiliki benda jika gangguan yang dialaminya  menaikkan titik beratnya (energi potensialnya).

b.      Keseimbangan labil/goyah

Adalah keseimbangan pada suatu benda di mana setelah gangguan yang diberikan/dialami benda dihentikan, maka benda tidak kembali ke posisi keseimbangan semula, tetapi bahkan memperbesar gangguan tersebut.

Contoh: Keseimbangan pada suatu benda dipandang sebagai keseimbangan yang dimiliki benda jika gangguan yang dialaminya menurunkan titik beratnya (energi potensialnya).

c.       Keseimbangan indeferen/netral

Adalah keseimbangan pada suatu benda di mana setelah gangguan yang diberikan tidak mengubah posisi benda.

Contoh : Keseimbangan indiferen dapat dipandang sebagai keseimbangan yang dimiliki benda dimana jika gangguan yang dialaminya tidak menyebabkan perubahan titik beratnya (energipotensialnya).